Cuộc Đời và Thành Tựu Khoa Học

của Joseph-Louis Lagrange,

Toán Gia Lỗi Lạc Nhất của Thế Kỷ 18

            Bài viết này đưọc trích ra trong chương "Những Vương Công Trong Toán Học" của cuốn sách Vui Đời Toán Học của giáo sư Nguyễn Xuân Vinh. Mỗi bài viết là một câu chuyện thích thú được tác giả kể với ngòi bút bác học của mình. Điều đặc biệt ở đây là dù kể chuyện xẩy ra ở nước người, ông cũng đưa vào chút hình ảnh của quê hương và chen thêm kỷ niệm và tâm sự riêng của mình.

            Vào năm cuối của thiên niên kỷ vừa qua, nhân dịp lễ Giáng Sinh, trong những thiệp của bè bạn gửi tới có hai tin về khoa học đã đưa tôi trở về dĩ vãng, vào thời điểm đúng nửa thế kỷ trước. Một bạn đồng nghiệp cũ ở Đại Học Michigan là giáo sư Donald T. Greenwood, ngoài những lời thăm hỏi thân tình đã cho tôi hay là cuốn sách về Động Lực Học do ông viết với đề là "Classical Dynamics", và do nhà xuất bản Prentice Hall in ra và tái bản lại nhiều lần, nay được nhà xuất bản Dover Publications, Inc. là một nhà phát hành lớn có cơ sở rộng rãi trên thế giới mua lại bản quyền để in theo kiểu bìa mỏng bán giá hạ để phổ biến ra đại chúng. Điều này thường dành cho các khoa học gia đã thành danh và sắp nghỉ hưu. Những gì họ viết ra đã trở thành kinh điển, có giá trị lâu dài, không cần phải cập nhật hoá hàng năm, mỗi khi sách được in lại. Tin tức thứ hai được gửi đến từ một đồng nghiệp trẻ, và cũng là một cựu sinh viên của tôi là tiến sĩ Daniel J. Scheeres, giáo sư Đại Học Iowa State, báo cho biết là tên ông đã được chọn để đặt cho một hành tinh nhỏ đã được tìm thấy từ mấy năm trước, vào ngày 14 tháng Giêng năm 1991 bởi nhà thiên văn học E. F. Helin dùng kính viễn vọng của thiên văn đài ỏ núi Palomar, miền Nam California. Sau đó ít lâu, người học trò còn gửi cho tôi một bức thư hân hoan nói thêm chi tiết về hành tinh bé nhỏ này, từ qũy đạo dài rộng và độ nghiêng đối với mặt phẳng hoàng đạo, từ tâm sai cho đến chu kỳ của thiên thể, nay được gắn liền với tên của anh. Sau khi được tìm thấy lần đầu tiên, nhiều đài thiên văn ở các nơi, như đài đặt ở đảo Maui ở Hawai, ở Lincoln Laboratory ở New Mexico, và đài thiên văn Oaxaca ở Mexico đã chụp được hình thiên thể này như một vệt sáng nhỏ trên kính âm bản, định ra vị trí và từ đó tính ra qũy đạo. Tiểu hành tinh mới đầu mang số 8887 và sau được một ủy ban của Hiệp Hội Quốc Tế các nhà thiên văn học chọn tên anh để đặt. Chúng ta sẽ trở lại vấn đề này ở một dịp khác và giờ đây tôi muốn dành những trang sách để viết về lý thuyết gia toán học mà công trình để lại có môn cơ học được trình bầy trong cuốn sách của người bạn tôi là giáo sư Greenwood, và dùng làm phương tiện khảo cứu cho cựu sinh viên của tôi là tiến sĩ Scheeres .

            Nếu nhạc sĩ người Áo Wolgang Amadeus Mozart (1756-1791) đã để lại cho đời sau những bản nhạc tuyệt vời thì hơn hai trăm năm sau, trong những năm đầu tiên của thế kỷ 21, với lòng tôn sùng một bậc tài danh, những người yêu âm nhạc cổ điển chỉ còn biết lắng nghe để thưởng thức âm điệu mà thôi. Nhưng cùng thời với ông, ở Âu châu còn có một thiên tài khác cũng lừng danh, nhưng tiếng tăm không vang ra ngoài nhân thế vì ở trong bộ môn hạn hẹp là toán học. Tuy vậy công trình của ông để lại, không những được người đời sau ghi chú học hỏi, mà còn được áp dụng trong nhiều bộ môn khoa học thực dụng cho đời sống hàng ngày, và cả trong những chương trình thám hiểm không gian và vũ trụ để tìm hiểu về nguồn gốc đời sống của con người và tương lai về sau. Người được nhắc đến trong bài này là Joseph-Louis Lagrange (1736-1813), một toán gia lỗi lạc nhất, mà cũng là người thật khiêm cung, đã được nhiều bậc vương giả Âu châu trọng vọng vào cuối thế kỷ 18 và đầu thế kỷ 19. Những lý thuyết của ông về toán học và đặc biệt về cơ học đã là những đề tài dậy học và khảo cứu của những bạn đồng nghiệp tôi đã nhắc ở trên, và cũng là môn học làm tôi say mê khi mà, cách đây đúng nửa thế kỷ, tôi bắt đầu học môn Cơ Học Giải Tích do ông sáng tạo. Để phê bình về danh nhân này, Đại đế Napoléon đã từng nói rằng: "Lagrange thật là một kim tự tháp cao vời trong bộ môn toán học". Lời nói của Hoàng đế thường đi đôi với việc làm và người đã phong cho Lagrange làm Bá tước, cử ông làm Thượng Nghị sĩ và còn vinh tặng ông Đệ Nhất Đẳng Bắc Đẩu Bội Tinh. Nhiều bậc vương giả khác ở Âu châu như Quốc vương xứ Sardinia và Đại vương Frederick của Đức quốc cũng đã hết mực tôn vinh Lagrange .

            Ông là người Pháp, nhưng có pha dòng máu Ý. Tổ phụ của Lagrange là một đại úy kỵ binh Pháp và theo tiếng gọi của sông hồ, đã tới phục vụ dưới trướng của Quốc vương đảo Sardinia là Charles Emmanuel II . Sau đó vị sĩ quan kỵ binh điển trai và anh dũng này tới định cư ở tỉnh Turin và được nhận vào làm rể của giòng họ quyền qúy Conti của nước Ý. Thân phụ của Lagrange cũng được hưởng cái may mắn trong hôn ước như thế và đã kết duyên cùng cô Marie-Thérèse Gros là ái nữ độc nhất của một bác sĩ giầu có ở tỉnh Cambiano . Cặp tài tử và giai nhân này sống vui hạnh phúc và hai ông bà có đến mười người con nhưng tất cả đều mệnh yểu khi còn tuổi ấu thơ và chỉ về sau mới may mắn được thêm cậu út là Joseph-Louis ra đời ngày 25 tháng Giêng năm 1736 để rồi lớn lên và trở thành một nhà bác học danh tiếng lẫy lừng. Thân phụ của Lagrange cũng là người có tài trí, và đã có thời làm Tổng Giám Đốc ngân sách binh bị cho đảo quốc Sardinia. Ông xây dựng nên một tài sản khá lớn, lại cộng thêm với của hồi môn của bà vợ nên gia đình được vào hạng giàu có lớn trong tỉnh. Nhưng ông lại ham mê đầu tư nên theo với nền kinh tế đương thời ở Châu Âu, tài sản của gia đình bị giảm sút dần dần đến khánh kiệt khi Lagrange bước vào tuổi trưởng thành. Cậu con út được cưng chiều nay lại không được thừa kế chút di sản nào của cha mẹ, vì thật ra không còn gì đáng giá để lại. Trong cuộc đời sau này của Lagrange, ông thường cho sự phá sản đó lại là một điều may cho mình và đã nói rằng: "Nếu tôi được hưởng một gia tài lớn thì chắc tôi đã không dựa vào Toán Học để xây dựng đời mình".

Sự Nghiệp Toán Học

            Vào đầu thế kỷ 18, nền khoa học nói chung, và toán học nói riêng, chưa phải là một môn học chính cho sĩ tử, nên lúc mới đầu Lagrange theo về văn học cổ điển. Nhưng trong khi nghiên cứu về văn hoá Hy Lạp, chàng thanh niên được biết đến những công trình về Hình Học của những vĩ nhân toán học đời trước như Euclid (330-275 tr. CN) và Archimedes (287-212 tr. CN). Tuy vậy chàng cũng không chú ý lắm về những môn này. Nhưng sau đó Lagrange được đọc một bài tham luận của nhà thiên văn học Edmund Halley (1656-1742) ca tụng môn Giải Tích Học mới được xây dựng và hoàn bị bởi nhà bác học Isaac Newton (1642-1727) và cho rằng môn toán học này vượt trội hơn môn Hình Học. Bài này gợi trí tò mò của chàng thanh niên và anh đã dồn hết tâm trí vào để trong một thời gian ngắn học được hết những gì đã được công bố trên sách vở về những phép tính vi phân và tích phân trong môn giải tích học. Sự hiểu biết về toán học cao cấp này đã làm cho Lagrange được bổ nhiệm làm giáo sư toán học tại Trường Pháo Binh Hoàng Gia ở tỉnh Turin khi chàng mới 16 tuổi . Nơi đây, hàng ngày Lagrange giảng bài cho lớp sinh viên mà người nào cũng lớn tuổi hơn mình. Tuy vậy chàng cũng thừa uy tín để chinh phục được mọi người và có nhiều năng lực để tổ chức được một Hội Nghiên Cứu Khoa Học là khởi thủy của một Trung Tâm để sau này trở thành Viện Hàn Lâm Khoa Học Turin. Chỉ mấy năm sau , vào năm 1759, khi Lagrange mới 23 tuổi, mà Hội Nghiên Cứu do chàng sáng lập đã xuất bản được Tập San đầu tiên. Nhưng ta phải nói rằng với một tâm địa tốt, luôn luôn nâng đỡ các bạn đồng nghiệp mà nhiều bài khảo cứu toán học đăng trên những số đầu tiên của tập san nghiên cứu, tuy ký tên những tác giả khác, mà thực ra là công trình của Lagrange vì đã được chàng sửa chữa và viết lại hoàn toàn. Trong những trường hợp này, có một tác giả của một bài viết thật đặc sắc- sau khi đã được Lagrange sửa lại- được mọi người chú ý và ngợi khen, và khi chuyện tới tai quốc vương Sardinia, tác giả được vời tới và giao cho giữ Bộ Hải Quân là một chức vụ thật quan trọng vì Sardinia là một đảo quốc. Chỉ có một điều là trong lịch sử môn toán học, người ta thấy ông này chỉ viết ra được một bài độc nhất là bài mà do sự nâng đỡ của Lagrange đã giúp cho ông được địa vị trong triều. Cũng trong thời gian sáng tác phong phú này mà Lagrange đã tạo dựng nên lý thuyết cho môn  Cơ Học Giải Tích.

             Một bài toán được biết từ thời thượng cổ là bài toán đẳng chu (isoperimetric problem) khi người ta tìm một hình phẳng có môt diện tích cực đại cho một chu vi cho sẵn. Lời giải tất nhiên là hình tròn nhưng phải đợi đến thế kỷ 17 mọi người mới chú ý đến những bài toán cực đại hay cực tiểu khi hai anh em toán gia Bernouilli, người Thụy Sĩ, ông anh tên là James (1654-1706) và người em là John (1667-1748) thách thức nhau giải bài toán sau đây:

            "Từ một điểm khởi đầu O, thả trôi một cái vòng theo một đường giây nhẵn thín nằm trong mặt phẳng thẳng đứng, để cho tuột xuống một điểm A ở dưới. Phải uốn đường giây theo hình nào để cho thời gian tuột được ngắn nhất."

Dĩ nhiên hai anh em nhà Bernouilli không những đưa ra nhiều lời giải, nhưng lại còn đề ra nhiều bài toán khác nữa thuộc loại này. Những bài viết của anh em nhà Bernouilli đã gây phấn khởi cho một thiên tài toán học khác người Thụy Sĩ là Leonhard Euler (1707-1783) là học trò của John Bernouilli, và Euler đã đưa ra phương pháp tổng quát để giải những bài toán mà James Bernouilli đã đề nghị khi xưa. Ông cũng đặt tên cho phép tính này là Phép Tính Biến Thiên (Calculus of Variations). Nhưng ngưòi thực sự đã đưa phép giải những bài toán để tìm ra những trường hợp tối ưu lại là Lagrange, lúc đó vẫn chỉ còn là một giáo sư ở Turin. Tuy chàng thanh niên, mới ở tuổi 19 và ở thế hệ sau, chỉ nghiên cứu bài toán đẳng chu sau những bậc tiền bối danh tiếng vang lừng, nhưng Lagrange đã có những nhận xét tân kỳ để giải bài toán, và đã có can đảm viết một bức thư cho Euler, đang là Chủ tịch Ủy ban Toán học của Hàn Lâm Viện Khoa Học Phổ Quốc ở Berlin, để đưa ra một lời giải mà chàng cho là có tính cách tổng quát. Cũng may là Euler tuy là một thiên tài toán học thời ấy, danh tiếng vang lừng, nhưng cũng là người rộng lượng, ông nhận ngay ra rằng phương pháp của Lagrange đã giải toả được một vài thắc mắc của chính ông khi tìm phương pháp giải bài toán và Euler đã nhường cho Lagrange công bố kết quả ra trước. Hơn hai trăm năm sau, những khoa học gia không gian, khi tìm những qũy đạo tối ưu để đưa những vệ tinh thám sát lên những hành tinh xa vời trong Thái dương hệ, đều phải viết những phương trình có tên chung là phương trình Euler-Lagrange. Không mấy người, dù chỉ trong một khoảnh khắc, đã nghĩ đến tài trí siêu việt của Lagrange và đức tính cao thượng của Euler, là những người đầu tiên đã khai phá ra môn toán học này. Trong những năm đầu tiên của một cuộc đời nghiên cứu và sáng tác toán học của Lagrange, những bài viết đều được đăng trong những Tập San đề là Miscellanea Taurinensia  tất cả tổng cộng có 5 Tập. Những bài viết này dù là để tên những học sinh hay những người cộng sự đều là do chàng giáo sư tuổi mới ngoài hai mươi đưa ra ý kiến và duyệt xét cùng sửa đổi lại. Tuy là ở một thị thành hẻo lánh nơi có hội toán học mà Lagrange sáng lập mà sau này trở thành Viện Hàn Lâm Khoa Học Turin, nhưng những Tập San Toán học phát xuất từ nơi đây, mà ngay ở số đầu tiên đã nói về Phép Tính Biến Thiên,  đã được toàn thế giới khoa học ở Âu châu chú ý tới và làm cho Lagrange đương nhiên trở thành một toán gia hàng đầu được mọi người ngưỡng mộ. Ngoài toán gia Euler, Lagrange còn được một trưởng bối người Pháp là D'Alembert (1717-1783) nhiệt tình ủng hộ. Những người bạn tốt này đều nghĩ rằng chỉ khi nào chàng tới một thủ đô văn học và tiếp xúc với những toán gia hàng đầu của thế kỷ thì tài năng của Lagrange mới được nẩy nở toàn diện. Trước đó Lagrange đã được mời tới London, nhưng đi được nửa đường khi vừa tới Paris thì bị ốm. Nơi đây ông được tiếp đón trọng vọng và vì sức khoẻ chưa hồi phục được nên đành phải trở về Turin một thời gian để chờ cơ hội khác. Mấy năm sau thì dịp may đó tới khi đại toán gia Euler nhận lời mời của Viện Hàn Lâm Khoa Học St Petersburg để chuyển cư tới đó. Do đề nghị của D'Alembert và Euler, Đại Vương Frederick của Phổ Quốc đã viết cho Lagrange một bức thư đại để nói là Quốc vương Frederick vĩ đại nhất châu Âu muốn được toán gia lừng danh nhất của thế kỷ tới vương triều để hàng ngày cùng nhau bàn luận. Lagrange đã nhận lời để tới Berlin thế vào chỗ trống của Euler và trong khoảng 20 năm khi cư ngụ ỏ Phổ Quốc ông đã viết hơn một trăm bài khảo luận toán học để đăng trên các tập san ở Turin và ở Berlin. Cũng trong thời gian này mà Lagrange hoàn tất tác phẩm vĩ đại nhất của đời ông về môn Cơ Học Giải Tích.

            Những năm đầu tiên ở Berlin, tuy công việc sáng tác toán học có thể gọi là xuất chúng, nhưng đời sống tình cảm của Lagrange lại đưa đến một sự thất bại về tình duyên. Trong sự tiếp súc với các bạn đồng nghiệp và gia đình của họ, các vị phu nhân thường tỏ cho chàng hay là nếu có một người bạn đời để chăm sóc cho mình thì chàng sẽ thấy đuợc hạnh phúc gia đình. Vì không phải là một con người hào hoa, phong lưu với phái nữ nên Lagrange đã viết thư về quê nhà ở Turin và ngỏ lời cưới hỏi với một cô bạn gái mà chàng đã biết khi xưa. Cuộc tình duyên qua thư tín này không đưa lại hạnh phúc cho cả hai người và người phụ nữ bất hạnh sau khi về nhà chồng ít lâu cũng mệnh yểu và điều này càng làm cho Lagrange chìm đắm thêm vào những chuỗi ngày buồn mỗi khi nhà toán học cảm thấy cô đơn. Tuy vậy Lagrange cũng thấy niềm an ủi khi được Quốc vương Frederick hay vời vào cung hỏi ý kiến về đủ mọi vấn đề. Trong khoảng thời gian hai mươi năm ở Berlin, trí óc của Lagrange không ngừng làm việc. Trong số hơn một trăm bài khảo cứu về toán học ông đã viết được, bài nào cũng trình bầy một lý thuyết tân kỳ. Những bài khảo cứu của Lagrange thường được gửi đăng ở những tập san định kỳ của Hàn Lâm Viện Khoa Học của Turin, Hàn Lâm Viện Hoàng Gia ở Berlin và Hàn Lâm Viện Pháp. Đặc biệt những bài gửi đến Hàn Lâm Viện Pháp đều là những bài về Thiên Văn Học Vị trí (Astronomie de Position) , môn học mà bây giờ người ta quen gọi là Cơ Học Thiên Thể (Mécanique Céleste). Lagrange bắt dầu nghiên cứu những chuyển dộng của các thiên thể rất sớm dù rằng ông không phải là một nhà thiên văn học, nghĩa là thuộc nhóm người đêm đêm dùng kính thiên lý dể ngắm sao. Năm 1764, khi còn ở Turin ông đã viết một bài khảo luận về chuyển dộng quay của mặt trăng và giải thích dược hiện tượng chị Hằng luôn luôn quay một nửa mặt về phía Trái dất. Hai năm sau, vào năm 1766,  ông dăng một bài khảo luận  rất chi tiết về hệ thống vệ tinh của sao Mộc. Vào thời điểm này thì các nhà thiên văn học mới tìm thấy là Mộc tinh là hành tinh lớn nhất trong Thái Dương Hệ có 4 vệ tinh mà thôi. Những vệ tinh này là Callisto, Europa, Ganymede và Io và đã được nhà thiên văn Gallileo quan sát vào năm 1610. Hiện nay người ta đã tìm thấy tất cả 28 vệ tinh của sao Mộc trong đó có 12 vệ tinh tìm ra được sau năm 1999 chưa được đặt tên. Nhung tác phẩm dặc sắc nhất Lagrange viết ra và gửi cho Hàn Lâm Viện Pháp vào năm 1772 là khi ông nghiên cứu chuyển dộng tương dối giữa ba vật thể trong vũ trụ là mặt trời, trái dất và mặt trăng, một bài  toán rất khó, Lagrange cũng như những người khác và hàng mấy trăm năm về sau cũng không ai tìm ra lời giải tổng quát, nhưng ông là người dầu tiên đã tìm ra những trường hợp dặc biệt mà ba vật thể này ở vào những vị trí mà trong chuyển động tiếp theo sau đó, tỷ lệ giữa những khoảng cách không  thay dổi. Chúng ta sẽ trở  lại bài toán này ở phần sau. Những bài Lagrange gửi cho Hàn Lâm Viện Pháp đều là đáp ứng với những bài toán Viện Hàn Lâm dặt ra và lần nào ông cũng dược giải khôi nguyên.

            Vào năm 1787, Quốc vương Frederick qua đời và cùng một lúc Lagrange nhận được thư mời của nhiều nước nhưng sau cùng ông nhận lời mời của Vua Louis XVI để tới Paris. Nơi đây Lagrange đã được dành nhiều biệt đãi như được ở ngay trong Điện Louvre và mời làm chủ toạ Ngành Toán Học của Hàn Lâm Viện Khoa Học, sau này trở thành Viện Hàn Lâm Quốc Gia. Nhưng những ngày đầu ở một nơi tuy là cội nguồn của gia tộc nhưng đối với ông còn xa lạ, Lagrange lại bị nỗi u sầu kinh niên xâm chiếm. Ông thật thấy không thiết làm việc gì và người ta còn thuật lại là cuốn sách Mécanique Analytique mà ông đã dành một phần đời để hình thành, nay đã đuợc in ra mà Lagrange để ở trên bàn giấy hai năm trời không buồn mở ra đọc. Ông ở trong điện Louvre cho đến ngày cách mạng nổi lên và phá Ngục Bastille là ngày 14 tháng 7 năm 1789. Trước đó, ngay đến cả hoàng hậu Marie-Antoinette, dù còn kém Lagrange đến 19 tuổi nhưng cũng tỏ vẻ hiểu tâm trạng buồn rầu của nhà toán học mà thỉnh thoảng mời vào hỏi chuyện như để giúp ông khuây khoả nỗi buồn. Cuộc cách mạng Pháp đến một cách đột ngột như kéo Lagrange về với thế giới hiện thực. Tuy trong cuộc đời của Lagrange lúc nào cũng được các vương gia, qúy tộc trọng đãi nhưng ông không thuộc về phái bảo hoàng nào mà chỉ nhìn cuộc cách mạng như là người quan sát và khi thấy những cuộc đấu tố đẫm máu xẩy ra ông thấy thật kinh hoàng và đã muốn như những nhà qúy tộc khác tìm cách rời khỏi nước Pháp. Nhưng hai sự việc xẩy ra đã giữ Lagrange ở lại và trở về làm việc với khoa học. Một phần là những người lãnh đạo mới lại ưu ái Lagrange và đặc biệt chú ý đến việc để cho ông được trợ cấp đầy đủ. Phần khác là trong lúc bị những u sầu trong tâm thần ám ảnh khi buớc vào tuổi năm mươi sáu với bóng hoàng hôn thì ông lại có cơ duyên gặp một thiếu nữ kém ông đến bốn mươi tuổi, con gái của một người bạn thân là nhà thiên văn học Lemonnier. Thay vì đứng vào hàng cháu để phụng dưỡng người bạn của cha mình mà cô bé ngưỡng mộ, cô nhất định bắt chàng làm hôn thú để được chính danh là phu nhân của ông Hàn Lâm Lagrange mà người đương thời hết mực trọng vọng. Cô thiếu nữ xinh đẹp lại tỏ ra là người vợ hiền và săn sóc cho Lagrange đến tận cuối đời. Lúc đó là vào khoảng năm 1792 và có thể nói rằng mối tình cuối đời này đã là nguồn sống cho Lagrange để ông trở về với những phương trình xuất chúng mà ông đã tìm ra. Dù có thể xa rời Paris vào dịp ấy nhưng Lagrange đã quyết định ở lại. Đặc biệt là chính phủ cách mạng đã ra sắc lệnh vào tháng Mười năm 1793 để buộc tất cả những người đến từ nước ngoài phải lập tức rời đất Pháp, nhưng trong lệnh này lại nêu đích danh là đạo luật không áp dụng cho Lagrange. Những ngày sau đó Lagrange nhận chức Chủ Tịch Ủy Ban ấn định đơn vị đo lường. Với sự hướng dẫn của ông mà Ủy ban đã đạt được những kết quả tránh cho nước Pháp và nhiều nước khác ở Âu châu những hậu quả khó khăn về sau. Lấy một vài thí dụ, có những người quyết liệt bênh vực dùng hệ thống căn bản là 12, vì lẽ một năm có 12 tháng, thay vì dùng hệ thống thập phân như chúng ta đã quen dùng từ hơn hai trăm năm nay. Câu chuyện kể lại là Lagrange đã rất nghiêm chỉnh đề nghị là dùng hệ thống căn bản là 11 để dung hoà. Tất nhiên những nhà trí thức của thời đại hiểu ngay ý tưởng châm biếm của ông Chủ tịch và ngay sau đó  Uy ban đã thống nhất dùng hệ thống thập phân. Môt điểm khúc mắc khác là ấn định đơn vị chiều dài gọi là mét. Những khoa học gia được hỏi ý kiến ai cũng muốn dùng một độ dài nào đã có sẵn trong thiên nhiên. Một đề nghị đưa ra là định nghĩa một mét như là chiều dài của môt quả lắc đánh nhịp chu kỳ là một giây đồng hồ. Nhưng muốn tính chiều dài của quả lắc này thì người ta phải biết độ gia tốc của trường trọng lực và độ gia tốc này lại thay đổi với vĩ tuyến. Nếu lấy một quả lắc có chu kỳ là 1 giây ở Glassgow, Scotland với độ gia tốc trọng lực là 9.915 63 m/sec2 thì khi đưa xuống Cairo ở Egypt với độ gia tốc trọng lực chỉ còn là 9.793 17 m/sec2  muốn  giữ nguyên chu kỳ, vì chiều dài quả lắc tỷ lệ thuận với độ gia tốc trọng lực nên phải làm ngắn đi 23%. Vì vậy ý kiến dùng độ dài của quả lắc làm đơn vị chiều dài phải bãi bỏ. Trước đó, vào năm 1669 nhà thiên văn Pháp là Jean Picard đã dùng phương pháp tam giác đạc và đo được một cách chính xác một cung kinh tuyến chạy từ Paris xuống tới Amiens và xuy ra được chiều dài của một vòng kinh tuyến trái đất. Căn cứ vào kích thước của Trái Đất, Ủy ban quyết định làm một thước mẫu bằng bạch kim pha iridium để ở Viện Trọng Lượng và Đo Lưòng ở tỉnh Sèvres, lấy khoảng cách giữa hai vạch trên mặt của chiếc thước được coi như là một mét bằng một phần mười triệu của một phần tư của đường kinh tuyến  của trái đất. Sau này với những kỹ thuật đo chính xác hơn thì người ta có được chiều dài của một vòng kinh tuyến là 40 009. 152 km. Như vậy mét mẫu ngắn hơn định nghĩa là hai phần mười milimét. Người ta đã giữ nguyên mét mẫu do Uy ban của Lagrange chế tạo và vì vậy theo đạo luật ngày 11 tháng 7 năm 1903, người ta định nghĩa lại mét mẫu như sau:

            "Mét mẫu là độ dài đo ở 0 độ bách phân của thước mẫu bằng bạch kim pha iridium đặt ở Viện Trọng Lượng và Đo Lường ở Sèvres và đã được hội nghị quốc tế đo lường ở Paris năm 1889 kiểm nhận".

            Trong thế kỷ 20, với sự tiến triển vượt bực của khoa học, nhiều tính chất vật lý có tính cách vĩnh viễn của các hoá chất được phát hiện, và đã có nhiều đề nghị thay đổi định nghĩa của mét. Cho tới nay thì định nghĩa mới nhất  của mét được phát biểu ngày 20 tháng 10 năm 1983 là:

            "Mét là chiều dài đi được của ánh sáng trong chân không trong khoảng thời gian là 1/299,792,458 giây đồng hồ"

Ta nên nhớ đây chỉ là sự thay đổi định nghĩa của mét, còn ngoài ra các nước hội viên đã công nhận hệ thống thập phân mét-kilogram đều có mẫu thước và quả cân lấy từ khuôn ở Viện Trọng Lượng và Đo Lường ở Sèvres để làm chuẩn. Định nghĩa này chỉ là sự công nhận tốc độ của ánh sáng là tuyệt đối và là

c = 299,792,458 m/s

            Sau khi nước Pháp trở lại chế độ quân chủ, dưới thời Đại Đế Napoléon nhà Toán Học tiếp tục được sự ngưỡng mộ của mọi người và dành nhiều thời gian vào giáo dục, trở thành giáo sư phụ trách ban toán của Trường Đại Học Sư Phạm (École Normale) và sau đó ở Trường Bách Khoa (École Polytechnique) vừa được sáng lập vào những năm 1795 và 1797. Cho đến bây giờ hai trường này vẫn tồn tại như là những trường đào tạo chuyên gia bề thế nhất ở nước Pháp. Năm 1808, Hoàng đế Napoléon phong cho Lagrange làm Bá tước và gắn cho ông Đệ nhất đẳng Bắc đẩu bội tinh. Lúc đó Toán gia đã cảm thấy suy yếu và cố gắng duyệt lại cuốn sách Cơ Học Giải Tích (Mécanique Analytique) để lại cho đời sau nhưng ông chỉ hoàn thành được chừng hai phần ba cuốn sách thật vĩ đại cả về phẩm lẫn lượng. Năm 1813, một tuần lễ trước khi bá tước Lagrange qua đời ông được trao tặng huân chương hoàng gia cao qúy nhất. Hai hôm trước ngày ông qua đời mấy người bạn thân tới thăm thì được ông cho biết là linh cảm thấy ngày cuối đời đã tới vì sức lực và trí não đã dần dần rời khỏi người ông. Ông thấy thân tâm an bình để ra đi sau khi đã đóng góp được chút ít cho kiến thức của nhân loại. Ông chỉ tiếc là người vợ tận tâm và thân yêu đã không cam lòng nhìn thấy ông sắp vĩnh biệt trần thế. Bá tước Lagrange được an táng tại Điện Panthéon ở Paris, nơi dành cho những vĩ nhân của Pháp quốc. Trên mộ ông có ghi hàng chữ:

            "Joseph-Louis Lagrange. Sénateur. Comte de l'Empire. Grand Officier de la Légion d'Honneur. Grand Croix de l'Ordre Impérial de la Réunion. Membre de l'Institut et du Bureau de Longitude. Né à Turin le 25 Janvier 1736. Décédé à Paris le 10 Avril 1813."

            Một phố ở Paris có tên là Rue Lagrange. Ở Turin, nơi phố có gian nhà ông sinh ra cũng mang tên là Via Lagrange. Thật ra, những gì Lagrange để lại cho hậu thế không phải là tên một vài con đường hẻm trên mặt địa cầu mà là những lý thuyết phong phú còn được áp dụng liên tục mấy trăm năm về sau. Ở những mục kế tiếp chúng tôi sẽ nói về ba bộ môn quan  trọng mà chúng tôi đã được thừa hưởng từ gia tài toán học vĩ đại mà Lagrange đã để lại.

Môn Cơ Học Giải Tích

            Cơ học là môn học giúp cho ta tính được sự chuyển động của các vật thể dưới sự tác dụng của các lực đặt vào. Trong đời sống hàng ngày trên trái đất và từ hàng nhiều tỷ năm nay, ở ngoài vũ trụ bao la vô cùng, cũng như ở trong giới hạn thu hẹp trong Thái Dương Hệ của chúng ta, các vật thể đều di động. Dù chỉ là một cơn gió thổi nhẹ trong một khung cảnh thanh bình, hay là một đường đạn bay, một trái bom rơi gây ra những chấn động ầm ĩ trong một bầu không khí chiến tranh rực lửa, hay là những chuyển vận đưa con người di chuyển từ nơi này qua nơi nọ, bằng những con tàu bay trên mây trời hay lướt trên mặt nước ở sông hồ hay đại dương, hay chạy trên mặt đất, chung quanh ta mọi vật đều chuyển vận, thay đổi vị trí theo thời gian. Dùng phép tính mà tiên đoán được chuyển vận là điều ai cũng muốn thực hiện được. Trong thế kỷ chúng ta đang sống, quan niệm về sự chuyển vận của vật thể được nới rộng ra và bao gồm những sự thay đổi của tất cả những đại lượng nào có thể đo lường được, tỷ dụ như giá cả của hàng hoá, hay cổ phiếu trên thị trường, và trong những trường hợp này những lực tác dụng làm thay đổi giá cả, tăng lên hay giảm đi, chính là những động lực kinh tế như là sự tin cậy và sức tiêu thụ của quần chúng, mức sản xuất và phí tổn trong kỹ nghệ bao gồm giá cả vật liệu và lương bổng của nhân công, vân vân ... . Khi có đầy đủ những yếu tố cần thiết, mà ta có thể dùng những phương trình toán học để tiên đoán được những gì sẽ tới trong tương lai thì đó là điều ước mơ của tất cả những kinh tế gia. Ở thời đại của Lagrange, vì chưa có những phương tiện du hành tối tân như phi cơ với những vận tốc siêu thanh và những máy móc xử dụng còn rất đơn giản nên trong thực dụng người ta chỉ dùng toán pháp trong môn cơ học để tính những đạn đạo của pháo binh trên mặt đất, và ra ngoài bầu trời thì môn cơ học thiên thể được dùng để tính những chuyển động và định vị trí của các hành tinh.

            Nền tảng của môn cơ học được đặt trên nguyên lý thứ hai của Newton, phát biểu là:'lực F tác dụng vào một trọng điểm cân bằng với tích số của trọng khối m của điểm và gia tốc a  của nó'. Công thức viết theo dạng vec-tơ thật là dản dị . Ta có

F =  m a

Vì vậy trước khi viết phương trình chuyển động của một trọng điểm, chẳng hạn lấy thí dụ điểm là một phi đạn, thì người ta thường vẽ đồ thị của các lực tác dụng, thường thì có hấp lực của trọng trường trái đất, sức cản và sức nâng của không khí và đôi khi còn gồm cả sức đẩy của động cơ nữa. Trong trường hợp trọng điểm là một hành tinh nhỏ thì những lực tác dụng là hấp lực của các trọng trường gồm có mặt trời và các hành tinh, kể cả trái đất của chúng ta. Khi đã biểu diễn tất cả các lực tác dụng, và gọi tổng hợp là F, người ta dùng một hệ thống quy chiếu, thường thì là ba trục toạ độ để theo dõi hoành độ x, tung độ y và cao độ z của trọng điểm trong không gian ba chiều. Dùng nguyên lý của Newton để viết phương trình véc tơ cân bằng các lực rồi đem chiếu trên ba trục người ta sẽ dược ba phương trình vi phân bậc hai dùng để tính ra chuyển động khi biết được điều kiện lúc ban đầu. Môn cơ học cũng được áp dụng để tính chuyển động của một cố thể được coi như là tổ hợp của nhiều trọng điểm dính liền vào nhau bất di dịch. Dùng cơ học mà người ta tính được chuyển động của trái đất và những hành tinh chung quanh mặt trời và đồng thời cũng tính được chuyển động quay quanh trục của nhũng hành tinh này. Cũng nhờ sự phát triển của môn cơ học trong thời đại của Lagrange mà ngày nay người ta mới có thể dùng máy tính điện tử để tính một cách chính xác chuyển động của các hỏa tiễn, của các vệ tinh. Nếu không tính được chuyển động quay quanh trục của các hỏa tiễn, vệ tinh và phi thuyền không gian và điều khiển để định hướng những vật thể này thì không thể nào có thể hoàn thành được những chuyến bay vào vũ trụ một cách thường xuyên như ngày nay. Tất cả những điều đó thực hiện được cũng do phần lớn là nhờ công của Lagrange. Thật vậy, mặc dầu kỹ thuật chế tạo những con tầu du hành trên mặt đất, trên mặt biển, và vào trong không gian đã một ngày một tối tân hơn, và những bài toán giải dùng máy điện tử được nhanh chóng bội phần và chính xác hơn, nhưng những phương trình để tính những chuyển động và dùng chúng để điều khiển những vật thể di động vẫn nguyên vẹn là những phương trình được Lagrange viết ra, được các nhà toán học đặt tên ông, và được dùng quen thuộc trong môn cơ học giải tích từ hơn hai trăm năm nay.

            Trong khoảng thời gian từ 1772 cho tới 1788, khi ở vào khoảng tuổi ba mươi đang sáng tác phong phú nhất, Lagrange đã xét lại lối viết phương trình cơ học bằng cách áp dụng định luật Newton, thì cũng như mọi người thấy ngay rằng khi một hệ thống động lực trở nên phức tạp, phải cần có môt lối viết thống nhất cho các phương trình trở nên đối xứng. Chẳng hạn khi chàng nghiên cứu chuyển động của ba vật thể trong không gian dưới sự hấp dẫn tương quan của nhau thì theo lối cổ điển, ta dùng những tọa độ thẳng góc xi, yi và zi  với i = 1, 2, 3 cho 3 vật thể. Lối viết này chỉ tiện lợi cho chuyển động của một điểm vật chất trong một khoảng đường ngắn như những phương trình đạn đạo chàng dậy cho các sĩ quan pháo binh, nhưng khi viết cho qũy đạo không gian của ba vật thể phải dùng đến những toạ độ cầu thì các phương trình trở nên phức tạp và lại không giống nhau nên khó tìm ra lời giải. Vì thế nên Lagrange gọi chung các toạ độ là toạ độ tổng quát tượng trưng bởi qi với  i = 1, 2, …, n cho trường hợp có n toạ độ. Như bài toán ba vật thể thì n = 9. Lagrange chứng minh được rằng khởi đầu từ cơ học Newton, nếu V là thế lực đặt vào  thì V có thể viết thành biểu thức của qi  và nếu T là động năng của hệ thống thì người ta cũng có thể viết biểu thức của T như là một hàm số của qi  và của đạo hàm q.i . Sau khi viết được biểu thị của V và của T người ta có hàm số Lagrange là hiệu số   L = T - V . Phương trình Lagrange viết chung cho các chuyển động như thế sẽ có một dạng chung là

Phương pháp của Lagrange thật là dản dị và cân xứng. Muốn giải một bài toán cơ học, trước hết người ta xét độ tự do của hệ thống, chẳng hạn cho đạn đạo, viên đạn có thể di chuyển theo ba chiều nên có ba độ tự do và cần phải có ba toạ độ. Nếu một hê thống phức tạp hơn có n độ tự do  thì cần phải n toạ độ tổng quát. Theo Lagrange thì chỉ cần biểu thị thế lực V và động năng T là những hàm số của qi  và  qi.  là sau đó viết được phương trình Lagrange cho chuyển động. Vẻ đẹp của lý thuyết của Lagrange là ở điểm này, và ông đã tự hào rằng suốt toàn cuốn sách viết mà không cần có một hình vẽ. Nhưng tìm được người hiểu thấu đáo một lý thuyết tân kỳ không phải là điều dễ. Sau khi đã viết xong cuốn sách Mécanique Analytique trình bầy lý thuyết của mình Lagrange cũng phải vất vả lắm mới có được một nhà xuất bản chịu bỏ tiền ra in, mà cũng nhờ đuợc một toán gia trẻ tuổi là Legendre (1752-1833), vì lòng hâm mộ mà lo cho việc in ấn được chu toàn vào năm 1788.  Phương pháp của Lagrange đã được Huân tước William Rowan Hamilton (1805-1865) là một nhà toán và thiên văn học lỗi lạc của Ai Nhĩ Lan khen ngợi là một áng thơ khoa học. Năm 1888, đúng 100 năm sau khi cuốn sách của Lagrange ra đời, nhà xuất bản sách toán đại học danh tiếng ở Paris là Gauthier Villars đã cho ấn hành bản đặc biệt ấn bản lần thứ tư cuốn Mécanique Analytique của Lagrange, in làm hai  tập. Thời sinh tiền, toán gia đã được tiếng là có thể viết những bài khảo cứu một mạch, không cần phải sửa chữa. Cuốn sách viết về Cơ Học Giải Tích của ông cũng như vậy, trải qua bao năm tháng, phần căn bản của lý thuyết vẫn không thay đổi. Những sách giáo khoa thời nay viết về môn cơ học như cuốn Classical Dynamics của người bạn tôi là giáo sư D T Greenwood cũng chỉ khác nguyên bản của Lagrange theo cách trình bầy và có thêm bài tập mà thôi. Nói chung, những ai đã dùng những phương trình của Lagrange mà đi chót lọt tới lời giải cũng phải công nhận rằng trên đường đi đã gặt hái được những hoa thơm cỏ lạ.

Môn Cơ Học Thiên Thể

            Môn Cơ Học Thiên Thể (Celestial Mechanics), khảo xát sự chuyển động của các hành tinh, lớn hay nhỏ, và các vệ tinh quay chung quanh những hành tinh, và chuyển động của các sao chổi, là một môn Toán học mà Lagrange đã có nhiều đóng góp quan trọng. Ở thời đại này, môn học bao gồm cả những chuyển động của các vệ tinh nhân tạo, và các phi thuyền không gian, và nếu kèm thêm cả sự điều khiển các phi thuyền bay trong không gian, thì được các khoa học gia chọn cho một tên khác, hoặc là  Cơ Học Vũ Trụ (Astrodynamics), hay nói rõ ràng hơn là môn  Cơ Học Phi Hành Không Gian (Spaceflight mechanics). Trong bộ môn này, không một nhà nghiên cứu môn cơ học vũ trụ nào mà không biết đến bài toán nổi danh là "Bài Toán Ba Vật Thể" trong những sách giáo khoa được biết đến dưới tên là "The Three-Body Problem".  Tên của bài toán này viết theo lối ngắn gọn nên người đọc không hiểu được thấu đáo tính chất toán học của vấn đề. Thật ra bài toán được phát biểu như sau:

            "Cho ba vật thể trong không gian, được coi như là những trọng điểm m1, m2 và m3, có hấp lực với nhau theo tỷ lệ nghịch với bình phương của khoảng cách và tỷ lệ thuận với trọng khối. Tìm chuyển động tương đối giữa ba vật thể này."

            Bài toán này được nổi tiếng vì đó là trường hợp xẩy ra thường xuyên trong Thái dương hệ, như là chuyển đông liên hệ đến mặt trời, trái đất và măt trăng. Trước khi nói đến chuyển động giữa ba vật thể, ta có trường hợp giản dị hơn là chuyển động tương đối giữa hai vật thể như mặt trời và trái đất hay giữa trái đất và mặt trăng.

           Thế kỷ thứ 18 ở Âu châu được coi như thế kỷ cường thịnh khi mà môn cơ học được nâng cao như là một môn toán học. Nhờ những nguyên lý động lực học của Newton mới được phát minh, và sự hoàn chỉnh lý thuyết cơ học giải tích của Lagrange mà nay các nhà thiên văn học có thể tính được những chuyển động của các hành tinh trong Thái Dương Hệ. Môn cơ học thiên thể được đặt trên định luật vạn vật hấp dẫn  của nhà bác học Newton, phát biểu như sau:

             "Hai điểm vật chất hút nhau bởi những lực trực đối, tỷ lệ với những trọng khối của chúng và tỷ lệ ngược với bình phương khoảng cách".

            Nhưng Huân tước Isaac Newton (1643-1727) sở dĩ tìm được định luật này là phải nhờ những định luật của Kepler về sự chuyển vận của các hành tinh. Nhà thiên văn học Johannes Kepler (1571-1630), nhờ những kết quả quan sát rất chính sác của người thầy là nhà thiên văn học Tycho de Brahé (1546-1601) để lại, đã công bố ba định luật sau đây cho sự chuyển vận của các hành tinh trong thái dương hệ:

Định luật I (1609):

 Những hành tinh vẽ những ellip mà mặt trời là môt tiêu điểm.

Định luật II (1609):

Những bán kính véc tơ nối mặt trời và hành tinh quét những diện tích bằng nhau trong những khoảng thời gian bằng nhau.

Định luật III (1618):

Những bình phương thời gian chuyển vận quanh măt trời tỷ lệ theo những lập phương của những độ dài của qũy đạo.

Vào cuối thế kỷ thứ 16 thì theo hệ thống đề ra bởi nhà thiên văn học nguời Ba Lan Nicolas  Copernic (1473-1543) người ta đã công nhận rằng mặt trời cố định ở tâm của thiên cầu và những hành tinh chuyển động theo những vòng tròn chung quanh mặt trời. Trái đất cũng chỉ là một hành tinh. Nhưng khi Kepler tiếp tục những khảo xát của thầy học là Tycho de Brahe và chấm vị trí của Hoả Tinh dựa trên nguyên tắc là một vòng tròn thì thấy giữa lý thuyết và kết quả có sự sai biệt đáng kể. Sau nhiều giả thuyết đặt ra, sự tìm tòi của ông đưa đến kết quả đặc biệt là Hoả tinh vẽ một qũy đạo hình ellip với mặt trời ở một tiêu điểm theo định luật diện tích. Ông đem nghiệm lại giả thuyết này cho các hành tinh khác và phát biểu những định luật thiên văn nổi danh như đã ghi lại ở trên.

Khi bắt đầu sự khảo xát, Kepler cũng nghĩ như Copernic là qũy đạo của Hoả tinh là hình tròn nhưng vì mặt trời ở vị trí lệch không đúng trung tâm vòng tròn nên khoảng cách tới hành tinh thay đổi. Ông ấn định vị trí gần nhất gọi là cận nhật và vị trí xa nhất gọi là viễn nhật và vẽ đường kính nối hai điểm cho vòng tròn qũy đạo. Nhưng đến lúc chấm nhửng vị trí quan sát  được  cho hành tinh thì thấy có sự sai chệch và nhận xét thấy rằng Hỏa tinh đều nằm ở phía trong vòng tròn chuẩn. Vì vậy ông nghĩ rằng qũy đạo  phải là một hình ellip. Sau nhiều lần thử, đặt nhiều ellip khác nhau, và thử một vài vị trí của mặt trời ông tìm thấy qũy đạo của Hỏa tinh là một ellip, tâm sai là 0,093 và có mặt trời ở một tiêu điểm. Kepler thường nhũn nhặn nói rằng vì gặp may mà ông đã chinh phục được Hoả tinh. Ta cũng phải công nhận rằng ông gặp nhiều may mắn. May mắn đầu tiên là ông đã bắt  đầu bằng sự khảo sát Hoả tinh. Nếu ông bắt đầu với qũy đạo của Kim tinh mà tâm sai là 0,007 thì khó lòng ông đoán được nó là một ellip vì nó cũng không khác vòng tròn là mấy. May mắn thứ hai là ông đã nhờ được dữ kiện quan sát tinh vi của thầy học là Tycho de Brahe. Suốt đời chắc không bao giờ Kepler quên được ông thầy này. Sau hết vào năm 1614 nhà toán học Néper cho ấn hành bảng lô-ga-rít  đầu tiên, nhờ đó mà Kepler có thể giải những bài toán một cách dễ dàng và phát biểu vào năm 1618 định luật thứ ba về thời gian vận chuyển của các hành tinh.

            Những định luật của Kepler đã cho biết sự chuyển động của các hành tinh. Tiếp theo, nhà Toán học Newton đã đặt ra bài toán là tìm ra những lực nào đã sinh ra những chuyển động ấy và sau nhiều năm tìm tòi ông đã phát biểu định luật vạn vật hấp dẫn mở đầu cho môn Cơ Học Thiên Thể.

            Bài toán về chuyển động tương đối giữa hai vật thể là bài toán đã được làm dản dị trong Thái dương hệ khi người ta coi mặt trời như là đứng cố định và xét riêng biệt chuyển động của từng hành tinh một. Bây giờ thì người ta đã biết rằng  mặt trời là một ngôi sao trung bình và là tâm hấp lực của những hành tinh và những sao chổi làm thành Thái Dương Hệ của chúng ta. Trong vũ trụ có thể có nhiều ngôi sao khác có những hành tinh quay chung quanh và làm thành những thái dương hệ tương tự. Kể cả trái đất, có tất cả 9 hành tinh quay quanh mặt trời theo những qũy đạo là những hình ellip mà mặt trời là một tiêu điểm. Lấy khoảng cách trung bình từ trái đất đến mặt trời làm đơn vị thì, kể từ trong ra ngoài, ta có những hành tinh sau đây cùng với khoảng cách trung bình tới mặt trời ghi ở cột cuối

                                    Thủy tinh                      (Mercury)                     0.387

                                    Kim tinh                       (Venus)                        0.723

                                    Trái đất                        (Earth)                          1.0

                                    Hỏa tinh                       (Mars)                          1.524

                                    Mộc tinh                       (Jupiter)                        5.203

                                    Thổ tinh                        (Saturn)                        9.539

                                    Thiên Vương tinh          (Uranus)                      19.18 

                                    Hải Vương tinh           (Neptune)                      30.07

                                    Diêm Vương tinh          (Pluto)                         39.44

            Trừ trái đất ra thì năm hành tinh đầu đã được tìm thấy từ thời cổ. Ba hành tinh sau cùng lần lượt được tìm thấy vào những năm 1781, 1846 và 1930. Vào năm 1772 một nhà thiên văn học người Phổ tên là Bode đã đặt ra một số liệt khá diệu kỳ để cho những khoảng cách từ các hành tinh tới mặt trời . Mới đầu ta viết ra một hàng số  

                  0        3        6        12        24        48        96        192

Bắt đầu từ số thứ hai, mỗi lần nhân đôi lại được số tiếp nối. Sau đó cộng thêm 4 để được một dẫy số khác .

                 4        7        10       16        28        52        100       196 

Bây giờ nếu đem chia cho 10 thì sẽ được một hàng số cho khoảng cách từ các hành tinh tới mặt trời

                         0.4      0.7      1.0      1.6      2.8       5.2        10        19.6

Ta nhận thấy bốn số đầu cho gần đúng những khoảng cách của Thủy tinh (0.387), Kim tinh (0.723), Trái đất (1.0) và Hỏa tinh (1.524). Con số thứ năm là 2.8 thì không đúng vào hành tinh nào cả. Những số tiếp sau là 5.2, 10 và 19.6 có thể dùng để chỉ những khoảng cách tới mặt trời của Mộc tinh (5.203), Thổ tinh (9.539) và Thiên vương tinh (19.18). Lối tính này được người ta gọi là định luật Bode nhưng định luật này không được coi như là một định lý toán học vì không dựa lên một lý luận chặt chẽ nào cả. Ngoài tính cách huyền bí, định luật Bode cũng nhiều lúc gây sôi nổi trong giới khoa học. Sau khi định luật được loan ra mấy năm thì nhà thiên văn học Anh quốc Hershel (1738-1822) tìm thấy Thiên vương tinh vào năm 1781 ở khoảng cách trung bình là 19.18 cũng gần trùng hợp với dẫy số của Bode. Điều lạ kỳ là giữa Hoả tinh và Mộc tinh có một khoảng trống, không có hành tinh nào, mà theo định luật Bode thì lại có khoảng cách 2.8. Vào năm 1801 người ta phát hiện ra một hành tinh nhỏ trên bầu trời. Vừa đặt tên hành tinh là Cérès thì tiểu hành tinh này mà bề ngang chưa tới một ngàn cây số đã đi vào khoảng trường vũ trụ khó quan sát từ trái đất vì vướng ánh dương quang. Người ta chỉ còn ghi được một vài tọa độ trước đây của Cérès mà điều khó khăn hơn nữa là vào thời ấy các nhà thiên văn học chỉ dùng kính quan sát để đo được hướng nhắm mà không có cách nào để đo khoảng cách. Nhà toán học Đức quốc lừng tiếng thời bấy giờ, và có lẽ cả thiên thu sau này, là Carl Friedrich Gauss (1777-1855) đã bắt tay vào việc và ông đã tính ra được qũy đạo của Cérès với khoảng cách trung bình tới mặt trời là 2.67. Chiếu theo dự tính của Gauss, các nhà thiên văn học quan sát vùng trời ấy và tìm lại được tiểu hành tinh Cérès. Cuộc truy tìm những hành tinh nhỏ mới lạ tiếp diễn và sau đó các nhà thiên văn học lại tìm thêm ra được mấy trăm tiểu hành tinh chạy theo những hình ellip để làm thành một vòng đai chung quanh mặt trời với cận điểm vào khoảng 1.76 và viễn điểm đi xa tới 4.25 đơn vị khoảng cách thiên văn mà ta đã lấy là  khoảng cách trung bình từ trái đất tới mặt trời. Như thế thì định luật Bode cũng còn đúng cho vùng không gian giữa Hỏa tinh và Mộc tinh. Sau những phép tính của Gauss, nhiều nhà toán học chú ý đến phép tính những qũy đạo của các hành tinh ở xa mặt trời nhưng lại gần những hành tinh lớn khác để có thể bị nhiễu loạn. Nhà thiên văn học Pháp là Le Verrier (1811-1877) nhận thấy rằng qũy đạo của Thiên vương tinh đi lệch không đúng như tiên đoán. Ông đặt giả thuyết rằng có một hành tinh nữa ở ngoài Thiên vương tinh và vì thế trọng trường của nó có tác dụng nhiễu loạn vào hành tinh này. Sau khi đã làm nhiều bài tính phức tạp, ông cho biết những phần tử về quỹ đạo của một hành tinh mà ông phỏng đoán sự hiện hữu trước đây. Ngày 18 tháng Chín năm 1846, Le Verrier viết cho nhà thiên văn học Galle ở Berlin và nhờ tìm kiếm hành tinh đó ở điạ điểm ông dự đoán bằng phép tính. Năm hôm sau, vào ngày 23 tháng Chín, Galle đã tìm thấy hành tinh mới, sau này đươc đặt tên là Hải vương tinh, chỉ cách vị trí Le Verrier dự đoán có 1 độ mà thôi. Khoảng cách trung bình cuả Hải vương tinh đến mặt trời là 30.1, nghiã là sai lệch nhiều so với khoảng cách 38.8 tính theo luật Bode. Sau này khi tìm thêm ra Diêm vương tinh vào năm 1930 thì sự sai trật lại còn lớn hơn nữa và luật Bode chỉ còn được coi như là một phương thức tình cờ dùng để nhớ những khoảng cách từ các hành tinh tới mặt trời mà thôi.

            Vào hậu bán thế kỷ 20, một vấn đề được các khoa học gia không gian chú ý đến là các tiểu hành tinh được tìm thấy càng ngày càng nhiều, cho đến nay lớn nhỏ đã tới hàng trăm ngàn vật thể. Trong số đó có 26 tiểu hành tinh có kích thước lớn hơn là 200 km. Tiểu hành tinh lớn  nhất cho đến nay vẫn là hành tinh Céres mà ước lượng mới nhất cho biết chiều dài là 933 km và khối lượng vào khoảng 25%  tổng số khối lượng của các tiểu hành tinh cộng lại. Vấn đề lo ngại của các khoa học gia không gian là trong tương lai có thể một tiểu hành tinh với một kích thước đáng kể, dù chỉ chừng vài cây số, mà qũy đạo bị nhiễu loạn khi đi gần các hành tinh lớn mà có thể gây ra va chạm với Trái đất. Nhiều nước như Hoa Kỳ, Nhật Bản, Ý Đại Lợi, … đã có những chương trình thám sát các tiểu  hành tinh và nếu cần thì tìm cách di chuyển qũy đạo. Những tiểu hành tinh này thường có những hình thể không phải là hình cầu như trong hình kèm theo đã ghép một số những tiểu hành tinh được các vệ tinh nhân tạo chụp hình khi bay ngang qua.  Mặt khác, như tất cả các vật thể trong không gian, những         hành tinh này lại quay quanh một trục  nên khi nghiên cứu những  chuyển động của vệ

tinh nhân tạo quay quanh một tiểu hành tinh với một hình thể và cấu tạo bất thường, tuy cũng làbài toán chuyển động tương đối của hai vật thể, nhưng qũy đạo trở nên rất phức  tạp, không còn là hình ellip như trường hợp lý tưởng chỉ coi hai vật thể như là hai trọng điểm mà thôi. Người cựu sinh viên của tôi là giáo sư tiến sĩ Daniel J. Scheeres hiện là một chuyên gia rất có uy tín về môn cơ học thiên thể và có nhiều bài viết về chuyển động chung quanh các tiểu hành tinh. Như đã nói ở đầu chương sách, ông đã được các bạn đồng nghiệp có thẩm quyền dành cho một tiểu hành tinh mang tên Scheeres.

            Như đã trình bầy ở trên nếu lấy Thái dương và bất kỳ một hành tinh nào thì ta coi chuyển động như giữa hai vật thể và qũy đạo tương đối là một ellip. Nhưng nếu tính một cách chính xác thì chuyển động của bất kỳ một hành tinh nào cũng phải được coi như là chuyển động của ba vật thể là Mặt trời, hành tinh chính và một hành tinh khác ở vùng phụ cận. Ở thời đại du hành vũ trụ này một bài toán quen thuộc khác là bài toán qũy đạo lên trăng. Lấy Trái đất, Mặt trăng và một phi thuyền không gian, hay một vệ tinh nhân tạo, thì nếu không kể ảnh hưởng của Mặt trời, nếu ta khảo xát chuyển động tương đối của Mặt trăng đối với Trái đất, ảnh hưởng của phi thuyền không gian không đáng kể thì qũy đạo của mặt trăng mà ta gọi là Bạch đạo là một hình ellip với Trái đất ở một tiêu điểm. Nhưng nếu ta khảo xát qũy đạo của phi thuyền không gian thì vấn đề phức tạp hơn nhiều. Nếu phi thuyền bay sát mặt trái đất, sức hút của mặt trăng ở xa vời coi như không đáng kể thì phi thuyền bay theo một qũy đạo hình ellip với tâm sai nhỏ. Cũng như vậy, phi thuyền có thể bay sát mặt trăng theo một hình ellip gần  như hình  tròn vì sức hút của Trái đất ở xa coi như không đáng kể. Nhưng ở  miền  trung hoà khi mà hấp lực của trái đất và của mặt trăng cùng tương đương thì chuyển động có thể rất phức tạp. Phi thuyền, hay vệ tinh, nếu không điều khiển thì có thể hoặc chỉ ở trong vùng của Trái đất, hoặc chỉ ở trong vùng của Mặt trăng, nhưng cũng có thể  sau khi có quỹ đạo ở vùng mặt trăng môt thời gian, vệ tinh sau khi bay vòng vòng nhiều lần chung quanh mặt trăng lại chuyển dần về phiá trái đất  và có thễ bất thình lình bị hút vào vùng này và trở thành vệ tinh của trái đất.  Bài toán này được gọi là "Bài Toán Ba Vật Thể Giới Hạn" (The Restricted Three-Body Problem). Gọi như thế vì trong trường hợp này, bài toán ba vật thể đã được giản dị hoá,  ta đã biết chuyển động tương đối giữa mặt trăng và trái đất rồi, chỉ còn phải tìm chuyển động của vệ tinh nhỏ mà thôi.

            Lagrange là một trong những toán gia đầu tiên  nghiên cứu và tìm lời giải cho bài toán ba vật thể tổng quát  khi mà cả ba vật thể cùng có trọng khối tương đương. Trải qua gần ba trăm năm, bài toán cho đến nay vẫn chưa ai giải được tuy rằng đã có nhiều bài viết về những khía cạnh đặc biệt về bài toán nói riêng, và về những lý thuyết cơ học hay toán học được xây dựng chung quanh bài toán. Nhưng tuy rằng không tìm ra lời giải toàn diện cho bài toán ba vật thể tổng quát, Lagrange đã để lại dấu ấn đặc biệt lưu tên tuổi ông lại trong môn  Cơ Học Thiên Thể  khi toán gia tìm ra được 5 lời giải đặc biệt cho bài toán. Năm 1772 ông gửi một bài khảo cứu đề là "Essai sur le Problème des Trois Corps" cho Hàn Lâm Viện Paris và được giải khôi nguyên cho bài viết. Trước hết ông viết phương trình vi phân tổng quát cho ba vật thể . Sau  đó khi thấy không thể nào giải một cách dễ dàng hệ thống phương trình vi phân này trong trường hợp tổng quát, Lagrange tìm điều kiện để cho trong chuyển động tỷ lệ giữa những khoảng cách các vật thể  luôn luôn cố định. Ông chứng minh được rằng trong trường hợp chung bao giờ cũng có 5 vị trí, tức là 5 lời giải đặc biệt cho bài toán ba vật thể.

Hình vẽ trên đây cho trường hợp của Mặt trời và Trái đất và cũng có thể lấy trường hợp Trái đất và Mặt trăng như là hai thiên thN